群星环形世界受力分析

玩《群星》的时候，大家或许都曾尝试建造环世界。最近，我突然想到：如果要围绕太阳打造一个环世界，并使其保持自转，以确保表面始终维持 1G 的重力，那么对构成材料会有什么要求呢？基于这一设想，我进行了一些理想化的粗略计算，并假设当环世界的自转速度恰好抵消太阳引力时，材料内部不会承受额外的张力。

公式推导

• 铁环为一个截面为 1 米×1 米的环状结构，其内半径为 \( R \) 米，外半径为 \( R+1 \) 米；
• 环绕中心旋转时，为保证内侧获得 1G 离心加速度，即内侧加速度 \( a(R)=\omega^2 R=9.81\,\text{m/s}^2 \)，因此有

\(
\omega = \sqrt{\frac{9.81}{R}}.
\)

• 铁的密度取 \( \rho =7870\,\text{kg/m}^3 \)。

推导过程：

1. 考虑环上任一点，位于半径 \( r \)（\( R\le r\le R+1 \)）处的体积微元为

\(
dV = (1\,\text{m})\cdot (r\,d\theta)\,dr,
\)

则质量微元

\(
dm = \rho\,dV = \rho\,r\,dr\,d\theta.
\)

2. 该微元受离心力

\(
dF = dm\cdot\omega^2 r = \rho\,\omega^2\,r^2\,dr\,d\theta.
\)

3. 若沿某一“切口”（比如沿垂直于水平方向的切断，将环分为左右两半），那么该微元对切口产生的水平（假设为 \( x \) 方向）分力为

\(
dF_x = dF\cdot\cos\theta = \rho\,\omega^2\,r^2\,\cos\theta\,dr\,d\theta.
\)

4. 对于右半环（\( \theta\in[-\pi/2,\pi/2] \)），总拉力 \( T \) 就是所有微元水平分力的积分：

\(
T = \int_{r=R}^{R+1}\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2} \rho\,\omega^2\,r^2\,\cos\theta\,d\theta\,dr.
\)

先积分角度部分：

\(
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \sin\theta\Big|_{-\pi/2}^{\pi/2} = 1-(-1)=2.
\)

再积分径向部分：

\(
\int_R^{R+1} r^2\,dr = \frac{(R+1)^3 - R^3}{3}.
\)

因此，

\(
T = \frac{2\,\rho\,\omega^2}{3}\Big[(R+1)^3 - R^3\Big].
\)

5. 由于内侧满足 \( \omega^2 R = 9.81 \)，故有

\(
\omega^2 = \frac{9.81}{R}.
\)

代入得：

\(
T = \frac{2\,\rho\,9.81}{3\,R}\Big[(R+1)^3 - R^3\Big].
\)

6. 注意到

\(
(R+1)^3 - R^3 = 3R^2 + 3R + 1,
\)

所以最终公式为

\(
T = \frac{2\,\rho\,9.81}{3\,R}\,(3R^2+3R+1)
\)

或写为

\(
T = 2\,\rho\,9.81\left(R + 1 + \frac{1}{3R}\right).
\)

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